"math" --- Mathematical functions#

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This module provides access to common mathematical functions and constants, including those defined by the C standard.

Estas funciones no pueden ser usadas con números complejos; usa las funciones con el mismo nombre del módulo "cmath" si requieres soporte para números complejos. La distinción entre las funciones que admiten números complejos y las que no se hace debido a que la mayoría de los usuarios no quieren aprender tantas matemáticas como se requiere para comprender los números complejos. Recibir una excepción en lugar de un resultado complejo permite la detección temprana del número complejo inesperado utilizado como parámetro, de modo que el programador pueda determinar cómo y porqué se generó en primer lugar.

Este módulo proporciona las funciones descritas a continuación. Excepto cuando se indique lo contrario explícitamente, todos los valores retornados son flotantes.

| Number-theoretic functions |#

| "comb(n, k)" | Number of ways to choose k items from n items without repetition and without order |#

| "factorial(n)" | n factorial |#

| "gcd(*integers)" | Greatest common divisor of the integer arguments |#

| "isqrt(n)" | Integer square root of a nonnegative integer n |#

| "lcm(*integers)" | Least common multiple of the integer arguments |#

| "perm(n, k)" | Number of ways to choose k items from n items without repetition and with order |#

| Floating point arithmetic |#

| "ceil(x)" | Ceiling of x, the smallest integer greater than or equal to x |#

| "fabs(x)" | Absolute value of x |#

| "floor(x)" | Floor of x, the largest integer less than or equal to x |#

| "fma(x, y, z)" | Fused multiply-add operation: "(x * y) + z" |#

| "fmod(x, y)" | Remainder of division "x / y" |#

| "modf(x)" | Fractional and integer parts of x |#

| "remainder(x, y)" | Remainder of x with respect to y |#

| "trunc(x)" | Integer part of x |#

| Floating point manipulation functions |#

| "copysign(x, y)" | Magnitude (absolute value) of x with the sign of y |#

| "frexp(x)" | Mantissa and exponent of x |#

| "isclose(a, b, rel_tol, abs_tol)" | Check if the values a and b are close to each other |#

| "isfinite(x)" | Check if x is neither an infinity nor a NaN |#

| "isinf(x)" | Check if x is a positive or negative infinity |#

| "isnan(x)" | Check if x is a NaN (not a number) |#

| "ldexp(x, i)" | "x * (2**i)", inverse of function "frexp()" |#

| "nextafter(x, y, steps)" | Floating-point value steps steps after x towards y |#

| "ulp(x)" | Value of the least significant bit of x |#

| Power, exponential and logarithmic functions |#

| "cbrt(x)" | Cube root of x |#

| "exp(x)" | e raised to the power x |#

| "exp2(x)" | 2 raised to the power x |#

| "expm1(x)" | e raised to the power x, minus 1 |#

| "log(x, base)" | Logarithm of x to the given base (e by default) |#

| "log1p(x)" | Natural logarithm of 1+x (base e) |#

| "log2(x)" | Base-2 logarithm of x |#

| "log10(x)" | Base-10 logarithm of x |#

| "pow(x, y)" | x raised to the power y |#

| "sqrt(x)" | Square root of x |#

| Summation and product functions |#

| "dist(p, q)" | Euclidean distance between two points p and q given as an iterable of coordinates |#

| "fsum(iterable)" | Sum of values in the input iterable |#

| "hypot(*coordinates)" | Euclidean norm of an iterable of coordinates |#

| "prod(iterable, start)" | Product of elements in the input iterable with a start value |#

| "sumprod(p, q)" | Sum of products from two iterables p and q |#

| Angular conversion |#

| "degrees(x)" | Convert angle x from radians to degrees |#

| "radians(x)" | Convert angle x from degrees to radians |#

| Trigonometric functions |#

| "acos(x)" | Arc cosine of x |#

| "asin(x)" | Arc sine of x |#

| "atan(x)" | Arc tangent of x |#

| "atan2(y, x)" | "atan(y / x)" |#

| "cos(x)" | Cosine of x |#

| "sin(x)" | Sine of x |#

| "tan(x)" | Tangent of x |#

| Hyperbolic functions |#

| "acosh(x)" | Inverse hyperbolic cosine of x |#

| "asinh(x)" | Inverse hyperbolic sine of x |#

| "atanh(x)" | Inverse hyperbolic tangent of x |#

| "cosh(x)" | Hyperbolic cosine of x |#

| "sinh(x)" | Hyperbolic sine of x |#

| "tanh(x)" | Hyperbolic tangent of x |#

| Special functions |#

| "erf(x)" | Error function at x |#

| "erfc(x)" | Complementary error function at x |#

| "gamma(x)" | Gamma function at x |#

| "lgamma(x)" | Natural logarithm of the absolute value of the Gamma function at x |#

| Constants |#

| "pi" | π = 3.141592... |#

| "e" | e = 2.718281... |#

| "tau" | τ = 2π = 6.283185... |#

| "inf" | Positive infinity |#

| "nan" | "Not a number" (NaN) |#

Number-theoretic functions#

math.comb(n, k)

Retorna el número de formas posibles de elegir k elementos de n, de forma ordenada y sin repetición.

Se evalúa como "n! / (k! * (n - k)!)" cuando "k <= n" y como cero cuando "k > n".

También llamado coeficiente binomial porque es equivalente al coeficiente del k-ésimo término en la expansión polinomial de "(1 + x)ⁿ".

Lanza una excepción "TypeError" si alguno de los argumentos no es un entero. Lanza una excepción "ValueError" si alguno de los argumentos es negativo.

Added in version 3.8.

math.factorial(n)

Return factorial of the nonnegative integer n.

Distinto en la versión 3.10: Floats with integral values (like "5.0") are no longer accepted.

math.gcd(*integers)

Retorna el máximo común divisor de los argumentos enteros. Si cualquiera de los argumentos no es cero, entonces el valor retornado es el entero positivo más grande que divide a todos los argumentos. Si todos los argumentos son cero, entonces el valor retornado es "0". "gcd()" sin argumentos retorna "0".

Added in version 3.5.

Distinto en la versión 3.9: Agregado soporte para un número arbitrario de argumentos. Anteriormente sólo se soportaba dos argumentos.

math.isqrt(n)

Retorna la raíz cuadrada del número entero no negativo n. Es el resultado de aplicar la función suelo al valor exacto de la raíz cuadrada de n, o de forma equivalente, el mayor entero a tal que a² ≤ n.

Para algunas aplicaciones, puede ser más conveniente tener el menor número entero a tal que n ≤ a², en otras palabras, el resultado de aplicar la función techo a la raíz cuadrada exacta de n. Para n positivo, esto se puede calcular usando "a = 1 + isqrt(n - 1)".

Added in version 3.8.

math.lcm(*integers)

Retorna el mínimo común múltiplo de los argumentos enteros. Si todos los argumentos no son cero, entonces el valor retornado es el entero positivo más pequeño que es un múltiplo de todos los argumentos. Si cualquiera de los argumentos es cero, entonces el valor retornado es "0". "lcm()" sin argumentos retorna "1".

Added in version 3.9.

math.perm(n, k=None)

Retorna el número de formas posibles de elegir k elementos de n elementos, sin repetición y en orden.

Se evalúa como "n! / (n - k)!" cuando "k <= n" y como cero cuando "k > n".

If k is not specified or is "None", then k defaults to n and the function returns "n!".

Lanza una excepción "TypeError" si alguno de los argumentos no es un entero. Lanza una excepción "ValueError" si alguno de los argumentos es negativo.

Added in version 3.8.

Floating point arithmetic#

math.ceil(x)

Retorna el "techo" de x, el número entero más pequeño que es mayor o igual que x. Si x no es un flotante, delega en "x.ceil", que debería retornar un valor "Integral".

math.fabs(x)

Retorna el valor absoluto de x.

math.floor(x)

Retorna el "suelo" de x, el primer número entero menor o igual que x. Si x no es un flotante, delega en "x.floor", que debería retornar un valor "Integral".

math.fma(x, y, z)

Fused multiply-add operation. Return "(x * y) + z", computed as though with infinite precision and range followed by a single round to the "float" format. This operation often provides better accuracy than the direct expression "(x * y) + z".

This function follows the specification of the fusedMultiplyAdd operation described in the IEEE 754 standard. The standard leaves one case implementation-defined, namely the result of "fma(0, inf, nan)" and "fma(inf, 0, nan)". In these cases, "math.fma" returns a NaN, and does not raise any exception.

Added in version 3.13.

math.fmod(x, y)

Return the floating-point remainder of "x / y", as defined by the platform C library function "fmod(x, y)". Note that the Python expression "x % y" may not return the same result. The intent of the C standard is that "fmod(x, y)" be exactly (mathematically; to infinite precision) equal to "x - ny" for some integer n such that the result has the same sign as x and magnitude less than "abs(y)". Python's "x % y" returns a result with the sign of y* instead, and may not be exactly computable for float arguments. For example, "fmod(-1e-100, 1e100)" is "-1e-100", but the result of Python's "-1e-100 % 1e100" is "1e100-1e-100", which cannot be represented exactly as a float, and rounds to the surprising "1e100". For this reason, function "fmod()" is generally preferred when working with floats, while Python's "x % y" is preferred when working with integers.

math.modf(x)

Retorna la parte fraccionaria y entera de x. Ambos resultados son flotantes y tienen el mismo signo que x .

Note that "modf()" has a different call/return pattern than its C equivalents: it takes a single argument and return a pair of values, rather than returning its second return value through an 'output parameter' (there is no such thing in Python).

math.remainder(x, y)

Retorna el resto o residuo según la norma IEEE 754 de x con respecto a y. Para un valor x finito y un valor y finito distinto de cero, es la diferencia "x - n * y", donde "n" es el número entero más cercano al valor exacto del cociente "x / y". Si "x / y" está exactamente en mitad de dos enteros consecutivos, el entero par más cercano se utiliza para "n". Por lo tanto, el residuo "r = remainder(x, y)" siempre satisface "abs(r) <= 0.5 * abs(y)".

Los casos especiales siguen el estándar IEEE 754: en particular, "remainder(x, math.inf)" es x para todo x finito, y "remainder(x, 0)" junto a "remainder(math.inf, x)" lanzan una excepción "ValueError" para todo x que no sea NaN. Si el resultado de la operación residuo es cero, este cero tendrá el mismo signo que x.

On platforms using IEEE 754 binary floating point, the result of this operation is always exactly representable: no rounding error is introduced.

Added in version 3.7.

math.trunc(x)

Retorna x con la parte fraccionaria eliminada, dejando la parte entera.Esto redondea hacia 0: "trunc()" es equivalente a "floor()" para x positivo y equivalente a "ceil()" para x negativo. Si x no es un flotante, delega a "x.trunc", que debería retornar un valor "Integral".

Para las funciones "ceil()", "floor()" y "modf()", ten en cuenta que todos los números de coma flotante de magnitud suficientemente grande son enteros exactos. Los flotantes de Python normalmente no tienen más de 53 bits de precisión (lo mismo que el tipo double de C en la plataforma), en cuyo caso cualquier flotante x con "abs(x) >= 2**52" no necesariamente tiene bits fraccionarios.

Floating point manipulation functions#

math.copysign(x, y)

Retorna un flotante con la magnitud (valor absoluto) de x pero el signo de y. En plataformas que admiten ceros con signo, "copysign(1.0, -0.0)" retorna -1.0.

math.frexp(x)

Return the mantissa and exponent of x as the pair "(m, e)". If x is a finite nonzero number, then m is a float with "0.5 <= abs(m) < 1.0" and an integer e is such that "x == m * 2**e" exactly. Else, return "(x, 0)". This is used to "pick apart" the internal representation of a float in a portable way.

Note that "frexp()" has a different call/return pattern than its C equivalents: it takes a single argument and return a pair of values, rather than returning its second return value through an 'output parameter' (there is no such thing in Python).

math.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)

Retorna "True" si los valores a y b están cerca el uno del otro y "False" en caso contrario.

Whether or not two values are considered close is determined according to given absolute and relative tolerances. If no errors occur, the result will be: "abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol)".

rel_tol is the relative tolerance -- it is the maximum allowed difference between a and b, relative to the larger absolute value of a or b. For example, to set a tolerance of 5%, pass "rel_tol=0.05". The default tolerance is "1e-09", which assures that the two values are the same within about 9 decimal digits. rel_tol must be nonnegative and less than "1.0".

abs_tol is the absolute tolerance; it defaults to "0.0" and it must be nonnegative. When comparing "x" to "0.0", "isclose(x, 0)" is computed as "abs(x) <= rel_tol * abs(x)", which is "False" for any nonzero "x" and rel_tol less than "1.0". So add an appropriate positive abs_tol argument to the call.

Los valores especiales de IEEE 754 "NaN", "inf" e "-inf" se manejarán de acuerdo con las reglas del IEEE. Concretamente, "NaN" no se considera cercano a ningún otro valor, incluido "NaN". Por su parte, "inf" e "-inf" solo se consideran cercanos a sí mismos.

Added in version 3.5.

Ver también:

 **PEP 485** -- Una función para comprobar la igualdad aproximada

math.isfinite(x)

Retorna "True" si x no es infinito ni NaN, o "False" en caso contrario. (Ten en cuenta que "0.0" es considerado finito.)

Added in version 3.2.

math.isinf(x)

Retorna "True" si x es infinito positivo o negativo, o "False" en caso contrario.

math.isnan(x)

Retorna "True" si x es NaN (not a number, en español: no es un número), o "False" en caso contrario.

math.ldexp(x, i)

Retorna "x * (2**i)". Esta es esencialmente la función inversa de "frexp()".

math.nextafter(x, y, steps=1)

Retorna el valor en coma flotante steps pasos después x hacia y.

Si x es igual a y, retorna y, a menos que steps sea cero.

Ejemplos:

• "math.nextafter(x, math.inf)" va hacia el infinito positivo.

• "math.nextafter(x, -math.inf)" va hacia el infinito negativo.

• "math.nextafter(x, 0.0)" va hacia cero.

• "math.nextafter(x, math.copysign(math.inf, x))" se aleja de cero.

Ver también "math.ulp()".

Added in version 3.9.

Distinto en la versión 3.12: Añadido el argumento steps.

math.ulp(x)

Retorna el valor del bit menos significativo del flotante x:

• Si x es un NaN (not a number), retorna x.

• Si x es negativo, retorna "ulp(-x)".

• Si x es un infinito positivo, retorna x.

• Si x es igual a cero, retorna el flotante representable desnormalizado positivo más pequeño (menor que el flotante normalizado positivo mínimo, "sys.float_info.min").

• Si x es igual al flotante representable positivo más pequeño, retorna el bit menos significativo de x, de tal manera que el primer flotante menor que x es "x - ulp(x)".

• De lo contrario (x es un número finito positivo), retorna el valor del bit menos significativo de x , de tal forma que el primer flotante mayor a x es "x + ulp(x)".

ULP significa Unit in the Last Place (unidad en el último lugar).

Ver también "math.nextafter()" y "sys.float_info.epsilon".

Added in version 3.9.

Power, exponential and logarithmic functions#

math.cbrt(x)

Retorna la raíz cúbica de x.

Added in version 3.11.

math.exp(x)

Retorna e elevado a la x potencia, dónde e = 2.718281... es la base de los logaritmos naturales. Esto generalmente es más preciso que "math.e ** x" o "pow(math.e, x)".

math.exp2(x)

Retorna 2 elevado a la potencia x.

Added in version 3.11.

math.expm1(x)

Retorna e elevado a la x potencia, menos 1. Aquí e es la base de los logaritmos naturales. Para flotantes x pequeños, la resta en "exp(x) - 1" puede resultar en una pérdida significativa de precisión; la función "expm1()" proporciona una forma de calcular este valor con una precisión total:

from math import exp, expm1 exp(1e-5) - 1 # gives result accurate to 11 places 1.0000050000069649e-05 expm1(1e-5) # result accurate to full precision 1.0000050000166668e-05

Added in version 3.2.

math.log(x[, base])

Con un argumento, retorna el logaritmo natural de x (en base e).

Con dos argumentos, retorna el logaritmo de x en la base dada, calculado como "log(x)/log(base)".

math.log1p(x)

Retorna el logaritmo natural de 1+x (base e). El resultado se calcula de forma precisa para x cercano a cero.

math.log2(x)

Retorna el logaritmo en base 2 de x. Esto suele ser más preciso que "log(x, 2)".

Added in version 3.3.

Ver también:

 "int.bit_length()" retorna el número de bits necesarios para
 representar un entero en binario, excluyendo el signo y los ceros
 iniciales.

math.log10(x)

Retorna el logaritmo en base 10 de x. Esto suele ser más preciso que "log(x, 10)".

math.pow(x, y)

Return x raised to the power y. Exceptional cases follow the IEEE 754 standard as far as possible. In particular, "pow(1.0, x)" and "pow(x, 0.0)" always return "1.0", even when x is a zero or a NaN. If both x and y are finite, x is negative, and y is not an integer then "pow(x, y)" is undefined, and raises "ValueError".

A diferencia del operador incorporado "", "math.pow()" convierte ambos argumentos al tipo "float". Utiliza "" o la función incorporada "pow()" para calcular potencias enteras exactas.

Distinto en la versión 3.11: Los casos especiales "pow(0.0, -inf)" y "pow(-0.0, -inf)" se cambiaron para devolver "inf" en lugar de generar "ValueError", por consistencia con IEEE 754.

math.sqrt(x)

Retorna la raíz cuadrada de x.

Summation and product functions#

math.dist(p, q)

Retorna la distancia euclidiana entre dos puntos p y q, cada uno de ellos dado como una secuencia (o iterable) de coordenadas. Los dos puntos deben tener la misma dimensión.

Aproximadamente equivalente a:

  sqrt(sum((px - qx) ** 2.0 for px, qx in zip(p, q)))

Added in version 3.8.

math.fsum(iterable)

Return an accurate floating-point sum of values in the iterable. Avoids loss of precision by tracking multiple intermediate partial sums.

La precisión del algoritmo depende de las garantías aritméticas de IEEE-754 y del caso típico en el que se usa el "medio redondo a par" (half-even) como método de redondeo. En algunas compilaciones que no son de Windows, la biblioteca de C subyacente utiliza la adición de precisión extendida y, ocasionalmente, puede realizar un doble redondeo en una suma intermedia, haciendo que el bit menos significativo tome el valor incorrecto.

For further discussion and two alternative approaches, see the ASPN cookbook recipes for accurate floating-point summation.

math.hypot(*coordinates)

Retorna la norma euclidiana, "sqrt(sum(x**2 for x in coordinates))". Esta es la longitud del vector que va desde el origen hasta el punto dado por las coordenadas.

Para un punto bidimensional "(x, y)", esto equivale a calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo usando el teorema de Pitágoras, "sqrt(xx + yy)".

Distinto en la versión 3.8: Agregado soporte para puntos n-dimensionales. Anteriormente, solo se admitía el caso bidimensional.

Distinto en la versión 3.10: Se mejoró la precisión del algoritmo para que el error máximo sea inferior a 1 ulp (unidad en último lugar). Más típicamente, el resultado casi siempre se redondea correctamente dentro de 1/2 ulp.

math.prod(iterable, *, start=1)

Calcula el producto de todos los elementos en la entrada iterable. El valor start predeterminado para el producto es "1".

Cuando el iterable está vacío, retorna el valor inicial. Esta función está diseñada específicamente para su uso con valores numéricos y puede rechazar tipos no numéricos.

Added in version 3.8.

math.sumprod(p, q)

Retorna la suma de productos de valores de dos iterables p y q.

Lanza "ValueError" si las entradas no tienen la misma longitud.

Aproximadamente equivalente a:

  sum(map(operator.mul, p, q, strict=True))

Para entradas flotantes y mixtas int/float, los productos intermedios y las sumas se calculan con precisión ampliada.

Added in version 3.12.

Conversión angular#

math.degrees(x)

Convierte el ángulo x de radianes a grados.

math.radians(x)

Convierte el ángulo x de grados a radianes.

Funciones trigonométricas#

math.acos(x)

Retorna el arcocoseno de x, en radianes. El resultado está entre "0" y "pi".

math.asin(x)

Retorna el arcoseno de x, en radianes. El resultado está entre "-pi/2" y "pi/2".

math.atan(x)

Retorna la arcotangente de x, en radianes. El resultado está entre "-pi/2" y "pi/2".

math.atan2(y, x)

Retorna "atan(y / x)", en radianes. El resultado está entre "-pi" y "pi". El vector del plano que va del origen al punto "(x, y)", forma este ángulo con el eje X positivo. La ventaja de "atan2()" es que el signo de ambas entradas es conocido, por lo que se puede calcular el cuadrante correcto para el ángulo. Por ejemplo, "atan(1)" y "atan2(1, 1)" son ambas "pi/4", pero "atan2(-1, -1)" es "-3*pi/4".

math.cos(x)

Retorna el coseno de x radianes.

math.sin(x)

Retorna el seno de x radianes.

math.tan(x)

Retorna la tangente de x radianes.

Funciones hiperbólicas#

Las funciones hiperbólicas son análogas a las funciones trigonométricas que están basadas en hipérbolas en lugar de círculos.

math.acosh(x)

Retorna el coseno hiperbólico inverso de x.

math.asinh(x)

Retorna el seno hiperbólico inverso de x.

math.atanh(x)

Retorna la tangente hiperbólica inversa de x.

math.cosh(x)

Retorna el coseno hiperbólico de x.

math.sinh(x)

Retorna el seno hiperbólico de x.

math.tanh(x)

Retorna la tangente hiperbólica de x.

Funciones especiales#

math.erf(x)

Retorna la función error en x.

The "erf()" function can be used to compute traditional statistical functions such as the cumulative standard normal distribution:

  def phi(x):
      'Cumulative distribution function for the standard normal distribution'
      return (1.0 + erf(x / sqrt(2.0))) / 2.0

Added in version 3.2.

math.erfc(x)

Retorna la función error complementaria en x. La función error complementaria se define como "1.0 - erf(x)". Se usa para valores grandes de x donde una resta de 1 causaría una pérdida de presición.

Added in version 3.2.

math.gamma(x)

Retorna la función gamma en x.

Added in version 3.2.

math.lgamma(x)

Retorna el logaritmo natural del valor absoluto de la función gamma en x.

Added in version 3.2.

Constantes#

math.pi

La constante matemática π = 3.141592..., hasta la precisión disponible.

math.e

La constante matemática e = 2.718281..., hasta la precisión disponible.

math.tau

The mathematical constant τ = 6.283185..., to available precision. Tau is a circle constant equal to 2π, the ratio of a circle's circumference to its radius. To learn more about Tau, check out Vi Hart's video Pi is (still) Wrong, and start celebrating Tau day by eating twice as much pie!

Added in version 3.6.

math.inf

Un valor infinito positivo en punto flotante. (Para un valor infinito negativo, usa "-math.inf".) Equivalente a la salida de "float('inf')".

Added in version 3.5.

math.nan

Un valor de coma flotante "no es un número" (NaN). Equivalente a la salida de "float('nan')". Debido a los requisitos del estándar IEEE-754, "math.nan" y "float('nan')" no se consideran iguales a ningún otro valor numérico, incluidos ellos mismos. Para verificar si un número es NaN, use la función "isnan()" para probar NaN en lugar de "is" o "==". Ejemplo:

import math math.nan == math.nan False float('nan') == float('nan') False math.isnan(math.nan) True math.isnan(float('nan')) True

Added in version 3.5.

Distinto en la versión 3.11: Ahora está siempre disponible.

Detalles de implementación de CPython: The "math" module consists mostly of thin wrappers around the platform C math library functions. Behavior in exceptional cases follows Annex F of the C99 standard where appropriate. The current implementation will raise "ValueError" for invalid operations like "sqrt(-1.0)" or "log(0.0)" (where C99 Annex F recommends signaling invalid operation or divide-by-zero), and "OverflowError" for results that overflow (for example, "exp(1000.0)"). A NaN will not be returned from any of the functions above unless one or more of the input arguments was a NaN; in that case, most functions will return a NaN, but (again following C99 Annex F) there are some exceptions to this rule, for example "pow(float('nan'), 0.0)" or "hypot(float('nan'), float('inf'))".

Ten en cuenta que Python no hace ningún esfuerzo por distinguir los NaN de señalización de los NaN silenciosos, y el comportamiento de señalización de los NaN permanece sin especificar. El comportamiento estándar es tratar a todos los NaN como silenciosos.

Ver también:

Módulo "cmath" Versiones de muchas de estas funciones para números complejos.